Gorenstein colength of local Artin k-algebras

[spa] En esta tesis abordamos el problema de la aproximación de anillos locales por anillos de Gorenstein en el caso cero-dimensional. Nos centramos en el estudio y el cálculo efectivo de la colongitud de Gorenstein, una noción propuesta por Ananthnarayan para medir qué tan cerca está una k-álgebra artiniana de satisfacer la propiedad de Gorenstein. Extendemos la caracterización de los anillos de Teter a k-álgebras de baja colongitud de Gorenstein en términos de sus sistemas inversos de Macaulay y ciertos ideales auto-duales generalizando resultados de Huneke-Vraciu, Ananthnarayan y Elias-Silva. Estudiamos ciertas propiedades de las coberturas Gorenstein minimales de un anillo, como su función de Hilbert y su dimensión de embedding. La herramienta de los sistemas inversos resulta clave para la definición y cálculo efectivo de la variedad de coberturas Gorenstein minimales vía el método de integración introducido por Mourrain. En codimensión 2, extendemos la parametrización de Conca-Valla para ideales del anillo de polinomios al anillo de series, obteniendo un método para el cálculo de coberturas Gorenstein basado en el estudio de matrices canónicas de Hilbert-Burch. Todos los algoritmos propuestos se han implementado en una librería del software de álgebra communtativa Singular

A novel algebraic approach to time-reversible evolutionary models

In the last years algebraic tools have been proven to be useful in phylogenetic reconstruction and model selection by means of the study of phylogenetic invariants. However, up to now, the models studied from an algebraic viewpoint are either too general or too restrictive (as group-based models with a uniform stationary distribution) to be used in practice. In this paper we provide a new framework to work with time-reversible models, which are the most widely used by biologists. In our approach we consider algebraic time-reversible models on phylogenetic trees (as defined by Allman and Rhodes) and introduce a new inner product to make all transition matrices of the process diagonalizable through the same orthogonal eigenbasis. This framework generalizes the Fourier transform widely used to work with group-based models and recovers some of the well known results. As illustration, we exploit the combination of our technique with algebraic geometry tools to provide relevant phylogenetic invariants for trees evolving under the Tamura-Nei model of nucleotide substitution